UNIDAD EDUCATIVA D.R MISAEL ACOSTA SOLIS
INTEGRANTES: MARCELA TUSTON, KATHERINE SANCHEZ
ANA PAVON , SHEYLA ZAVALA
TEMA:
CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS EN FUNCIÓN ALAS SOMBRAS
El sistema egipcio: la civilización egipcia sufría periódicas inundaciones del Nilo que borraban los lindes de separación de la tierra y era preciso construir ángulos rectos para dibujarlas. 2500 años antes de Cristo lograron trazar perpendiculares, con segmentos que forman un ángulo recto (90 grados), por aquella época el transportador de ángulos no existía.
La palabra Geometría en Egipto alude a “medir la tierra”.
La geometría egipcia junto a la babilónica fue la precursora de la potente geometría griega.
Dominaban perfectamente los triángulos gracias a los anudadores. Los anudadores egipcios hacían nudos igualmente espaciados que servían para medir; fueron los primeros en observar que uniendo con forma de triángulo, cuerdas de ciertas longitudes se obtiene un ángulo recto, también conseguían mediante estos nudos triángulos rectángulos. Pitágoras recogió toda esta experiencia geométrica para su teorema. Es decir, los egipcios ya conocían la relación entre la hipotenusa y los catetos en un triángulo rectángulo. Utilizaban el más tarde se conoció como Teorema de Pitágoras, pero de forma práctica, no sabían demostrarlo.
La palabra Geometría en Egipto alude a “medir la tierra”.
La geometría egipcia junto a la babilónica fue la precursora de la potente geometría griega.
Dominaban perfectamente los triángulos gracias a los anudadores.
Los anudadores egipcios hacían nudos igualmente espaciados que servían para medir; fueron los primeros en observar que uniendo con forma de triángulo, cuerdas de ciertas longitudes se obtiene un ángulo recto, también conseguían mediante estos nudos triángulos rectángulos.
Pitágoras recogió toda esta experiencia geométrica para su teorema. Es decir, los egipcios ya conocían la relación entre la hipotenusa y los catetos en un triángulo rectángulo. Utilizaban el que más tarde se conoció como Teorema de Pitágoras, pero de forma práctica, no sabían demostrarlo.
Entre las fórmulas que tenían para medir áreas, se pueden citar:
• Las de superficie del cuadrado (a partir del triángulo)
• La superficie del rectángulo
• Del rombo
• Del trapecio.
En cuanto al área del círculo utilizaron una fórmula que daba a pi un valor bastante aproximado.
En el Papiro de Rhind encontramos:
Los papiros nos han dejado constancia de que los egipcios situaban correctamente tres cuerpos geométricos: el cilindro, el tronco de la pirámide y la pirámide
Para conocer la matemática egipcia tiene un especial interés el papiro de Ahmes o papiro de Rhind, en honor al anticuario escocés que lo adquirió en un pequeño pueblo del Nilo.
Fue encontrado en las ruinas de Tebas, este fue comprado por Henry Rhind que tras 5 años de su compra murió y ahora este se encuentra el museo británico de Londres.
Este papiro comienza con la frase: “cálculo exacto para entrar en el conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios”.
Algunos datos del papiro: mide 6m de largo y 33cm de ancho y representa la mejor fuente de información matemática egipcia conocida. Está escrito en hierático y consta de 87 problemas más su resolución. Este papiro nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas, fracciones, calculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales, y trigonometría básica. (En el papiro también aparecen algunos errores) su escritura parece Ahmes.
No se conoce el objetivo del papiro algunos piensan que son claras intenciones pedagógicas o un cuaderno de notas de algún alumno, aunque para nosotros representa una guía de matemáticas del antiguo Egipto.
Data de 1700 a.C. y en él aparecen:
• Problemas de repartos
• Problemas con el área de un triángulo isósceles
• Área de un trapecio isósceles
• Área de una circunferencia, con una forma similar a la actual, pero con π=3+1/6.
• El volumen de una pirámide de base cuadrada.
En otros papiros se encuentra
• El volumen de un tronco de cono
• Una buena aproximación del volumen de una esfera.
Uno de los más interesantes es el que compara el área de un círculo con la del cuadrado circunscrito.
Este problema tiene gran importancia por 2 razones. Por una parte representa el primer intento de una geometría basada en la utilización de figuras sencillas, cuyo área se conoce, para obtener el área de figuras más complicadas, y por otra parte puede ser la fuente del cálculo del área del círculo con un valor de pi = 3.1605
A medida que el polígono tiene más lados, el área se aproxima más a la del círculo.
¿Cuál es el área de un triángulo de lado 10 jet y base 4 jet?
Según está resuelto el problema, parece que el triángulo es isósceles y queda dividido en 2 partes iguales por la altura, con las que forma un rectángulo, siendo la altura lo que Ahmes llama lado. El escriba lo resuelve así: “Toma la mitad de 4 para formar un rectángulo. Multiplica 10 veces 2 y el resultado, 20, es el área buscada”.
Para las construcciones utilizaban cuerdas con nudos situados a la misma distancia. Para hacer triángulos rectángulos contaban 12 nudos. Luego hacían un triángulo cuyos lados fuesen 3, 4 y 5, en total 12, tal y como vemos en el dibujo. Pues bien, el ángulo que forman los lados 3 y 4 es recto siempre.
Pero también observaron que se podían duplicar, triplicar, y seguía siendo rectángulo. (6-8-10).
Los Egipcios manejaban números del orden de ciento de millar unos 3500 a. C.
Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100…), similar al sistema utilizado por los romanos.
Para la construcción de las impresionantes pirámides, cubiertas de jeroglíficos, los egipcios obtienen fórmulas que aplican según sus necesidades. El enunciado de uno de los 28 problemas del papiro de Moscú, parece corroborar que los egipcios conocían la fórmula para calcular el volumen de un tronco de pirámide,
siendo a, b las longitudes de los lados de la base de la pirámide y h la altura.
EL PAPIRO DE MOSCÚ
También conocido como Papiro Golenischev es casi tan largo como el Papiro Rhid pero tan sólo de unos siete centímetros de ancho. Está escrito por un escriba desconocido de la dinastía XII (sobre 1890 a.C.) y fue comprado en Egipto en el año 1893, conservándose en Moscú, de ahí el nombre.
Se trata de una colección de veinticinco problemas resueltos, sobre cuestiones cotidianas, que no se diferencian mucho de los de Ahmés.
Compuesto en forma más descuidada que el anterior hay sin embargo dos problemas geométricos que revisten una importancia especial.
• El área de una superficie de lo que parece ser una cesta semiesférica de diámetro 4 1/2, y procede a calcularla, resultado sorprendente para la época.
• Una figura que parece representar un trapecio, pero los cálculos asociados indican que en realidad se trata de un tronco de pirámide cuyo volumen calcula.
Escritura egipcia
La piedra Roseta fue descubierta gracias a un oficial de Napoleón. En 1799 se descubrió una gran estela de basalto negro al lado de Roseta (Rashîd), Egipto, en el valle del Nilo. Fue expedida al Cairo a sabios franceses. En 1822 el arqueólogo francés Jean-François Champollion acabó de descifrar la escritura.
La piedra Roseta data de 195 a.C.
Para representar un número se incluían estos símbolos escribiéndolos, normalmente de derecha a izquierda, y representando tantos de cada uno como unidades tuviese el número.
El sistema es en base 10 pero no es posicional, sino aditivo.
Así, para representar el número 52 se escribía 2 veces uno y 5 veces 10 dando lugar a
.
Este sería el método más básico. Al igual que en la escritura se intentaba obtener una mejor representación gráfica, por lo que un número como 2235 nunca se escribiría
sino
Vemos como incluso en la escritura de números se complica la transliteración precisamente por ese intento de que las representaciones fuesen lo más estéticas posibles.
Si encontramos una representación del tipo:
seria 966.
Cuando aparece más de un símbolo cardinal el conjunto debe leerse de arriba a abajo.
El jeroglífico empleado para un millón se utilizaba, también, para designar el concepto de infinito o mucho. Éste pronto cayó en desuso y se empleó otro método, consistente en representar el número como una serie de operaciones aritméticas (sumas y multiplicaciones) de valores inferiores.
FRESCO TUMBA SENEFER
Cuando el número a representar va seguido de un sustantivo se escribía primero el símbolo correspondiente al nombre y luego el número (en transcripciones se escriben los números 1 y 2 detrás del nombre y el resto antes que este). Así para representar 2 jarras emplearíamos (leyendo de izquierda a derecha):
El nombre puede aparecer en su forma singular o plural, pero nunca si el número es 1 ó 2, o si se refiere a indicaciones de tiempo o medida. En estos casos aparece, como regla general, en singular.
Hemos visto la representación jeroglífica de los números cardinales. La escritura hierática y la demótica diferían bastante de la jeroglífica. En este caso el sistema ya no es aditivo, sino que se trata de un sistema numeral codificado, que incluye símbolos para las primeras 9 unidades, 9 decenas, 9 centenas, etc. En la siguiente tabla se da una relación desde el 1 al 9000.
Para representar el número 5417, en hierática obtendríamos (leyendo de derecha a izquierda)
ARITMÉTICA. OPERACIONES BÁSICAS
Las operaciones básicas de suma y resta se limitaban a una combinación o cancelación de símbolos. La adición era la base del conocimiento matemático, puesto que las operaciones de multiplicación y división se basaban en adiciones.
Para sumar simplemente se añadían los símbolos correspondientes. Como los símbolos se podían repetir desde 1 a 9 veces, si se excedía de 9 se eliminaban todos y se añadía el siguiente. El funcionamiento es similar al ábaco.
Para la resta sencillamente se eliminaban los símbolos a restar. Si has usado alguna vez un ábaco chino, el funcionamiento es exactamente el mismo, pero en lugar de con columnas, con símbolos.
Las operaciones de multiplicación y división se basaban en el mismo proceso aditivo. Para multiplicar se empleaba un sistema de duplicación-adición, que requiere un poco de práctica. Se basa en la propiedad de que cualquier número natural puede expresarse como una suma de potencias de 2, que quizás los egipcios ya hubiesen descubierto por métodos empíricos.
Cuando se tenía que efectuar una multiplicación por 10, 100,1000,… sencillamente se desplazaban todos los símbolos una, dos, tres, … posiciones hacia la derecha según la tabla siguiente.
FRACCIONES
El uso de fracciones es sin duda el rasgo más peculiar de la matemática egipcia. El método empleado por los escribas para operar con fracciones es mucho más complicado que el nuestro. La base de la representación de una fracción se encontraba en la descomposición como suma de fracciones de numerador 1, todas distintas.
Era muy frecuente el uso de las fracciones denominadas “fracciones ojo de Horus”, que representaban cada una de las partes en las que fue seccionado el ojo de Horus durante su batalla con Seth.
• Las cejas equivalían a 1/8,
• La pupila era ¼
• La parte izquierda de la pupila 1/2,
• La parte derecha 1/16
• La parte inferior vertical bajo el ojo 1/32 y
• La parte inferior diagonal del ojo representaba 1/64.
Las fracciones con numerador distinto de 1 se reducían a sumas de fracciones conocidas, con numerador 1, pero siempre los sumandos tenían que ser diferentes. Así Ahmes en el papiro Rhind escribe 2/5 como 1/3 + 1/15 y nunca se podría emplear 1/5 + 1/5. La propia expresión 2/5 no tenía sentido en el pensamiento egipcio. Cualquier cantidad se expresaba como una parte entera mas una suma de fracciones unitarias, y a lo sumo 2/3.
El símbolo “+” no se empleaba y las fracciones aparecían secuencialmente.
El papiro Rhind incluye, al principio, una tabla en la que se expresan todas las fracciones de numerador 2 y denominador impar entre 5 y 101 como suma de fracciones unitarias. Como es lógico se eliminan las descomposiciones en las que el denominador es par.
En la descripción de los problemas del papiro Rhind pueden verse más ejemplos de problemas con fracciones.
Pero desgraciadamente hoy por hoy lo desconocemos.
